Without the Chance of Jumping, All the Weight of the Pages Drains into a Loop with No Exit ── A surfer follows one link at random with probability d and jumps to some page with probability 1-d ── the error of the computation shrinks by 0.850009 per step, and the second eigenvalue has absolute value exactly 0.85 ── [Paper 639]

Counts differ because each database indexes a different set of publications. We treat OpenAlex as the canonical count; Google Scholar is not shown (no API, and crawling it violates its ToS).

The weight of a page (its PageRank) is set as the long-run share of time a link-following surfer spends there. With probability d the surfer follows one link of the current page at random, and with probability 1-d jumps uniformly to any page; from a page with no links the surfer always jumps. It is counted on an 8-page network containing a loop with no exit 3->4->5->3, a page 6 that nothing links to, and a dead-end page 7. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the definition of PageRank (Brin and Page, 1998), and that the second eigenvalue of the matrix with jumping has absolute value at most d, equal to d for some shapes of closed loop (Haveliwala and Kamvar, 2003), are known. Real search ranking and the merits of choosing d=0.85 are not discussed──what happens as d moves is only counted on one small network. Relation to earlier papers: Paper 263 showed on a three-state loop that the distribution can be stationary while detailed balance fails and probability keeps circling──PageRank is likewise stationary and not in equilibrium. On top of that, here it is counted that without jumping the loop with no exit swallows everything. What is added is matching three routes: the linear equation, power iteration and simulation, setting out the loop's weight as d moves from 0.5 to 1, matching the shrinking of the error with the second eigenvalue, and placing the separator on the chance of jumping 1-d. First, three routes agree──at d=0.85, the linear equation and power iteration agreed within 10^-12, and the visit shares of a 3000000-step random surfer differed from them by at most 0.000125. The loop 3, 4, 5 holds a total weight of 0.719042; the heaviest page is 3 and the lightest is page 6, which nothing links to, at 0.023691 (Section 2). Second, and this is the core. Without the chance of jumping, all the weight drains into the loop with no exit──the loop's total weight rises from 0.479884 at d=0.5 to 0.719042 at 0.85, 0.972730 at 0.99 and 0.997191 at 0.999, and is exactly 1 at d=1, where every other page has weight 0. The chance of jumping, 1-d, is what leaves weight on the pages outside the loop (Section 3). Third, the error of the computation shrinks by 0.85 per step──the error of power iteration shrank by 0.850009 per step from step 50 to step 200, and fell below 10^-6 at step 68. The second eigenvalue of the matrix has absolute value exactly 0.85, and there are two of them (Section 4). Fourth, it is stationary, but detailed balance fails──the weight flowing from page i to j, pi_iG_ij, and the reverse pi_jG_ji differed most at pages 3->4, by 0.215543. The distribution of weight does not move, but the weight keeps circling the loop (Section 5). Page weights set by a surfer who follows a link with probability d and jumps with probability 1-d gather 0.719042 into the loop with no exit 3->4->5->3 of an 8-page network at d=0.85. Raising d towards 1 brings the loop's weight to 0.972730 and 0.997191, and at d=1 everything drains into the loop and the other pages go to 0──only the chance of jumping leaves weight outside the loop. The error of the computation shrinks by 0.85 per step, equal to the absolute value of the second eigenvalue. The separator is the chance of jumping, 1-d. Placed among the earlier papers──the "stationary, not equilibrium" of Paper 263 appears as the flow circling PageRank's loop. To be honest──neither real search ranking nor the choice of d is entered. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: PageRank, damping factor, Markov chain, random surfer, absorbing cycle. ----- ページの重み(ページランク)を、リンクをたどる人が長い間に各ページにいる割合として決める。その人は、確率 d でいまのページのリンクを一つ無作為に選んで進み、確率 1-d で全ページのどこかへ一様に跳ぶ。リンクの無いページからは必ず跳ぶ。8 ページの網(出口の無い輪 3->4->5->3、誰からも引かれないページ 6、行き止まりのページ 7 を含む)で数える。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ページランクの定義(ブリンとペイジ、1998)、跳ぶ確率を入れた行列の二番目の固有値の絶対値が d 以下で、閉じた輪の形によっては d に等しくなること(ハベリワラとカムバール、2003)は、いずれも既知である。実際の検索の順位づけや、d=0.85 の選び方の是非は論じない──一つの小さな網で、d を動かすと何が起きるかを数えるだけである。既刊との関係:論文263 は、三状態の輪で、分布が動かない定常なのに詳細つりあいが破れ、確率が回り続けることを示した──ページランクも同じく定常であって平衡ではない。ここではそのうえで、跳ぶ確率を無くすと出口の無い輪がすべてを吸い込むことを数える。加えたのは、一次方程式・べき乗法・乱数の三つの道筋を突き合わせたこと、d を 0.5 から 1 まで動かして輪の重みを並べたこと、誤差の縮みと二番目の固有値を突き合わせたこと、分離子を跳ぶ確率 1-d に置いたことである。 第一に、三つの道筋が一致する──d=0.85 で、一次方程式とべき乗法は 10^-12 以内で一致し、乱数でたどる 3000000 歩の訪れた割合との差は最大 0.000125 だった。輪 3・4・5 の重みの合計は 0.719042、最も重いのはページ 3、最も軽いのは誰からも引かれないページ 6 の 0.023691 である(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。跳ぶ確率を無くすと、重みは出口の無い輪にすべて吸い込まれる──輪の重みの合計は、d=0.5 で 0.479884、0.85 で 0.719042、0.99 で 0.972730、0.999 で 0.997191 と増え、d=1 でちょうど 1 になり、ほかのページの重みは 0 になる。跳ぶ確率 1-d が、輪の外のページに重みを残している(第3節)。 第三に、計算の誤差は一回に 0.85 倍ずつ縮む──べき乗法の誤差は、50 回目から 200 回目まで一回あたり 0.850009 倍ずつ縮み、68 回目で 10^-6 を切った。行列の二番目の固有値の絶対値はちょうど 0.85 で、二つある(第4節)。 第四に、定常だが、詳細つりあいは成り立たない──ページ i から j へ流れる重み pi_iG_ij と、逆向きの pi_jG_ji の食い違いは、ページ 3->4 で最大の 0.215543 だった。重みの分布は動かないが、重みは輪を回り続けている(第5節)。 リンクをたどる人が確率 d で進み、確率 1-d で跳ぶとして決めたページの重みは、8 ページの網で d=0.85 なら、出口の無い輪 3->4->5->3 に 0.719042 が集まる。 d を 1 に近づけると輪の重みは 0.972730、0.997191 と増え、d=1 ではすべてが輪に吸い込まれて、ほかのページは 0 になる──跳ぶ確率だけが、輪の外に重みを残す。計算の誤差は一回に 0.85 倍ずつ縮み、それは二番目の固有値の絶対値に等しい。分離子は、跳ぶ確率 1-d である。既刊との位置──論文263 の「定常であって平衡ではない」が、ページランクの輪を回る流れとして現れる。正直に言えば──実際の検索の順位づけにも、d の選び方にも入っていない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:ページランク、減衰係数、マルコフ連鎖、ランダムサーファー、出口の無い輪。